Vành chia là gì? Các công bố nghiên cứu khoa học liên quan

Vành chia (division ring, skew field) là vành có đơn vị 1, mọi phần tử khác 0 đều có nghịch đảo hai bên và phép nhân phân phối theo cộng, nhưng không nhất thiết giao hoán. Khác với trường giao hoán, vành chia cho phép tồn tại các phần tử a, b sao cho a·b ≠ b·a, là nền tảng cho mô-đun trái, đại số phi giao hoán và các cấu trúc hình học dựa trên không gian vectơ trái.

Định nghĩa Vành chia

Vành chia (division ring hay skew field) là cấu trúc đại số gồm tập hợp R cùng hai phép toán cộng và nhân, trong đó tồn tại phần tử đơn vị 1 và với mọi a ≠ 0 trong R đều tồn tại phần tử nghịch đảo a−1 sao cho a·a−1 = a−1·a = 1. Khác với trường, phép nhân trong vành chia không bắt buộc phải giao hoán, tức có thể a·b ≠ b·a cho một số cặp (a,b).

Định nghĩa chính thức bao gồm các tiên đề:

  • Phép cộng (R, +) tạo thành nhóm abelian.
  • Phép nhân (R\{0}, ·) tạo thành nhóm (có đơn vị).
  • Phép nhân phân phối theo phép cộng hai bên.

Vành chia được nghiên cứu rộng rãi trong đại số không giao hoán và đóng vai trò trung tâm trong lý thuyết mô-đun trái. Mọi trường giao hoán đều là vành chia, nhưng ngược lại không phải vành chia nào cũng là trường giao hoán (Wolfram MathWorld).

Các tính chất cơ bản

Một vành chia R thỏa mãn các tính chất sau:

  1. Mọi a ≠ 0 có a−1 sao cho a·a−1 = 1 và a−1·a = 1.
  2. Phép phân phối: a·(b + c) = a·b + a·c và (b + c)·a = b·a + c·a.
  3. Không nhất thiết có tính giao hoán: tồn tại a, b sao cho a·b ≠ b·a.

Bảng tổng hợp:

Đặc điểm Mô tả
Nhóm cộng R tạo thành nhóm abelian với 0 là phần tử trung hòa
Nhóm nhân R\{0} tạo thành nhóm với phần tử đơn vị 1
Phân phối Nhân phân phối trái và phải theo cộng
Không cần giao hoán a·b có thể khác b·a

Tính chất này làm vành chia trở thành nền tảng cho các cấu trúc đại số phức tạp như mô-đun trái không giao hoán và đại số liên hợp.

Ví dụ tiêu biểu

Số quaternion ℍ do Hamilton phát minh năm 1843 là ví dụ kinh điển nhất về vành chia không giao hoán. Mỗi quaternion có dạng a + bi + cj + dk với i² = j² = k² = ijk = −1, và phép nhân không giao hoán giữa i, j, k.

Các ví dụ khác bao gồm:

  • Vành phân số của một vành nguyên tố không giao hoán (noncommutative ring of fractions).
  • Đại số ma trận cấp 1 (trường số thực ℝ, phương trình giao hoán) so với đại số ma trận cấp >1 không phải vành chia.
  • Các division algebra hữu kích thước hữu hạn trên ℝ: chỉ có ℝ, ℂ, ℍ và Cayley số (octonions) nhưng octonions không phải vành chia vì mất phép kết hợp.

Những ví dụ này thể hiện tính đa dạng và phức tạp của cấu trúc không giao hoán, mở rộng khả năng ứng dụng trong hình học đại số và lý thuyết biểu diễn nhóm.

Hệ tâm vành chia

Hệ tâm (center) Z(R) của một vành chia R là tập hợp các phần tử z ∈ R sao cho z·x = x·z với mọi x ∈ R. Z(R) luôn là một trường giao hoán con của R.

Ví dụ, với R = ℍ (số quaternion), Z(ℍ) = ℝ vì chỉ các số thực giao hoán với mọi quaternion. Điều này khẳng định rằng trung tâm phản ánh phần giao hoán “lõi” bên trong cấu trúc không giao hoán.

Công thức định nghĩa:

Z(R)={zRzx=xz,xR}Z(R)=\{\,z\in R\mid zx = xz,\forall x\in R\}

Phân biệt với trường (Field)

Trường (field) là vành chia giao hoán, nghĩa là với mọi a, b ≠ 0 trong trường, luôn thỏa mãn a·b = b·a. Trong khi đó, vành chia (division ring) cho phép phép nhân không giao hoán, tức tồn tại a, b sao cho a·b ≠ b·a. Điều này biến các vành chia thành một lớp rộng hơn so với trường, với nhiều ứng dụng trong đại số không giao hoán.

Mối quan hệ giữa hai khái niệm này có thể tóm tắt:

  • Mọi trường đều là vành chia giao hoán.
  • Mọi vành chia giao hoán đều là trường.
  • Không phải vành chia không giao hoán nào cũng có thể trở thành trường mà không mất cấu trúc nhân.

Ví dụ, tập số thực ℝ và tập số phức ℂ là các trường, trong khi số quaternion ℍ là vành chia nhưng không phải trường vì ij = k ≠ ji = −k (Britannica: Division ring).

Định lý Wedderburn

Định lý Wedderburn (Wedderburn’s Little Theorem) phát biểu rằng mọi vành chia hữu hạn đều giao hoán, tức là mọi vành chia có số phần tử hữu hạn sẽ trở thành trường hữu hạn. Định lý này khẳng định không tồn tại vành chia phi giao hoán hữu hạn, đóng vai trò quan trọng trong phân loại các đại số hữu hạn.

Ta có phát biểu cụ thể:

Ne^ˊu  R  laˋ  division  ring  vaˋ  R<,  thıˋ  R  laˋ  field.Nếu\;R\;là\;division\;ring\;và\;|R|<\infty,\;thì\;R\;là\;field.

Minh họa bằng ví dụ:

  • Vành chia hữu hạn duy nhất có 2 phần tử là trường nhị phân GF(2).
  • Các trường hữu hạn GF(p^n) với p nguyên tố và n ≥ 1 là ví dụ duy nhất của vành chia hữu hạn (Wolfram MathWorld).

Mô-đun và đại số trên vành chia

Khái niệm mô-đun trái (left module) và mô-đun phải (right module) trên vành chia mở rộng ý tưởng về không gian vectơ. Khi vành cơ sở không giao hoán, ta phải phân biệt vectơ trái và vectơ phải, nghĩa là scalar multiplication diễn ra từ bên trái hoặc bên phải.

Đặc điểm chính:

  1. Không gian vectơ trái R–Mod: scalar multiplication là R × V → V, (r, v) ↦ r·v.
  2. Không gian vectơ phải Mod–R: scalar multiplication là V × R → V, (v, r) ↦ v·r.
  3. Đại số trên vành chia: kết hợp cấu trúc mô-đun với phép nhân nội tại.

Trong nhiều trường hợp, mô-đun trái và mô-đun phải không đồng nhất, dẫn đến các định lý và cấu trúc mới trong lý thuyết biểu diễn và đại số đồng điều.

Ứng dụng trong hình học và đại số

Vành chia đóng vai trò quan trọng trong các cấu trúc hình học không giao hoán, chẳng hạn hình học projective phi giao hoán, nơi tập các phép biến đổi được mô tả bằng ma trận trên vành chia. Điều này cho phép mở rộng hình học cổ điển sang bối cảnh phi giao hoán.

Các lĩnh vực ứng dụng chính:

  • Biểu diễn nhóm: sử dụng mô-đun trái trên vành chia để xây dựng các representation không giao hoán.
  • Lý thuyết Lie: đại số Lie trên trường ℂ có thể mở rộng sang đại số Lie trên ℍ.
  • Mật mã học: các phép biến đổi phi giao hoán tạo nền tảng cho các thuật toán khóa công khai.

Ví dụ, đại số ma trận GL(n, R) với R là vành chia cung cấp nhóm tuyến tính tổng quát cho các phép biến đổi vectơ trái và phải.

Phân loại và hướng nghiên cứu tương lai

Nghiên cứu vành chia hiện tại tập trung vào:

  • Phân loại division algebra hữu hạn chiều trên các trường cơ sở (theo định lý Frobenius và Albert).
  • Xây dựng vành phân số (skew field of fractions) cho các vành nguyên tố không giao hoán.
  • Mối liên hệ giữa division ring và lý thuyết vòng tử (noncommutative ring theory).

Các hướng phát triển mới:

  1. Ứng dụng trong đại số bậc cao và hình học không đối xứng.
  2. Tích hợp với lý thuyết φ-algebra và các mô hình lượng tử.
  3. Nghiên cứu mô-đun trên vành chia vô hạn và liên kết đến hình học phi giao hoán.

Tài liệu tham khảo

  1. Wolfram MathWorld. “Division Ring.” https://mathworld.wolfram.com/DivisionRing.html
  2. Wolfram MathWorld. “Wedderburn’s Little Theorem.” https://mathworld.wolfram.com/WedderburnsLittleTheorem.html
  3. Encyclopaedia Britannica. “Division ring.” https://www.britannica.com/science/division-ring
  4. Lam, T. Y. (1991). A First Course in Noncommutative Rings. Springer.
  5. Jacobson, N. (2009). Basic Algebra II. Dover Publications.

Các bài báo, nghiên cứu, công bố khoa học về chủ đề vành chia:

Vành chia đại số trên vành chia con
Cho   là vành chia với tâm   có phép đối hợp   và   là một vành chia con của   chứa . Mục tiêu của bài báo nhằm chứng minh rằng nếu   là trường vô hạn không đếm được thì tập hợp   bao gồm tất cả các phần tử đối xứng của ...... hiện toàn bộ
#vành chia #phép đối hợp #đại số phải
Về đồng nhất thức nhóm suy rộng của nhóm tuyến tính tổng quát trên vành chia có tâm hữu hạn
Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng kết quả nổi tiếng của I. Z. Golubchik và A.V. Mikhalev cho đồng nhất thức nhóm suy rộng của nhóm tuyến tính tổng quát trên vành chia trong trường hợp tâm không nhất thiết vô hạn. 16.00 Normal 0 false false ...... hiện toàn bộ
#vành chia #nhóm tuyến tính tổng quát #đồng nhất thức nhóm suy rộng
Tập hợp các phần tử đối xứng của nhóm con chuẩn tắc trong vành chia có phép đối hợp
Cho D là vành chia tâm F với phép đối hợp ⋆. Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh được rằng nếu vết và chuẩn của đạo nhóm cấp n đều chứa trong tâm F thì . Kết quả này là mở rộng một kết quả rất cổ điển của Herstein. Ở phần tiếp theo, chúng tôi sẽ trình b&ag...... hiện toàn bộ
#vành chia #phép đối hợp #vết #chuẩn
KHẢO SÁT MỘT SỐ ĐẶC ĐIỂM LÂM SÀNG, CẬN LÂM SÀNG, TỔN THƯƠNG ĐỘNG MẠCH VÀNH Ở BỆNH NHÂN HỘI CHỨNG VÀNH CẤP ĐƯỢC CAN THIỆP STENT CHỖ CHIA NHÁNH ĐỘNG MẠCH VÀNH
Tạp chí Y học Việt Nam - Tập 504 Số 1 - 2021
Mục tiêu: Khảo sát một số đặc điểm lâm sàng, cận lâm sàng, đặc điểm tổn thương động mạch vành ở bệnh nhân hội chứng động mạch vành cấp được can thiệp đặt stent chỗ chia nhánh động mạch vành. Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu mô tả cắt ngang từ 5/2014 đến 12/2017. Đối tượng nghiên cứu là bệnh nhân hội chứng vành cấp được can thiệp đặt stent chỗ chia nhánh động mạch vành tại Viện Tim mạch – Bệnh vi...... hiện toàn bộ
NHÓM CON CỦA NHÓM NHÂN TRONG VÀNH CHIA QUATERNION THỰC
Cho H   một vành chia quaternion thực và H*=H\ {0}   là một nhóm nhân trong H.  Một nhóm con N   của  H*  được gọi là gần á chuẩn tắc nếu tồn tại một dãy các nhóm con N=N<   sao cho với mỗi 0<i<n  hoặc N là nhóm con chuẩn tắc của  hoặc  có chỉ số hữu hạn trong   Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh mọi nhóm con gần á chuẩn tắc của   đều là nhóm con chuẩn tắc.
#vành chia #vành chia quaternion thực #nhóm con gần á chuẩn tắc
Chỉ số Đánh giá Phát triển Nông nghiệp Chất lượng Cao: Nghiên cứu Thực nghiệm từ Vành đai Kinh tế Sông Dương Tử, Trung Quốc Dịch bởi AI
Springer Science and Business Media LLC - Tập 164 - Trang 1101-1127 - 2022
Nông nghiệp là nền tảng của nền kinh tế quốc gia, và đạt được phát triển nông nghiệp chất lượng cao là một hỗ trợ quan trọng cho sự phát triển kinh tế mạnh mẽ trong thời kỳ hậu đại dịch. Dựa trên triết lý phát triển mới của chính phủ Trung Quốc, nghiên cứu này xây dựng một khung đánh giá "đổi mới-phối hợp-xanh-mở cửa-chia sẻ" cho phát triển nông nghiệp chất lượng cao, đồng thời đánh giá định lượng...... hiện toàn bộ
#phát triển nông nghiệp chất lượng cao #Vành đai Kinh tế Sông Dương Tử #đổi mới #phối hợp #xanh #mở cửa #chia sẻ
Kết quả can thiệp tổn thương thực sự chỗ chia nhánh thân chung động mạch vành trái bằng kỹ thuật 2 Stents
Tổng quan: Tổn thương chỗ chia nhánh của thân chung động mạch vành trái là tổn thương nguy hiểm, chiếm khoảng 4 – 8% những trường hợp bị bệnh động mạch vành. Can thiệp mạch vành qua da trong điều trị tổn thương thực sự chỗ chia nhánh động mạch vành trái bằng kỹ thuật 2 stent đã được áp dụng nhưng chưa có nghiên cứu nào tại Việt Nam tổng kết lại kết quả gần và đánh giá kết quả sau một thời gian the...... hiện toàn bộ
#Bệnh động mạch vành #chỗ chia đôi #kỹ thuật 2 stent #thân chung động mạch vành trái #stent #thang điểm Syntax
Số sắc của đồ thị bổ sung đối với một đồ thị đơn liên quan đến vành giao hoán Dịch bởi AI
Arabian Journal of Mathematics - Tập 3 - Trang 373-377 - 2014
Giả sử R là một vành Noether. Chúng tôi kí hiệu G(R) là đồ thị đơn mà các đỉnh là các phần tử của R, trong đó hai đỉnh khác nhau x và y được nối với nhau bằng một cạnh nếu x − y là một số chia không điển hình của R. Kí hiệu $${\overline{G}(R)}$$ ...... hiện toàn bộ
#đồ thị đơn #đồ thị bổ sung #số sắc #vành Noether #số chia không điển hình
Khảo sát đặc điểm giải phẫu học và tổn thương tại chỗ chia nhánh thân chung động mạch vành trái
Tổn thương chỗ chia nhánh của thân chung động mạch vành trái là tổn thương nguy hiểm, chiếm khoảng 4 – 8% những trường hợp bị bệnh động mạch vành. Vì thế, cần có một nghiên cứu tổng hợp lại đặc điểm giải phẫu học và đặc điểm tổn thương chỗ chia nhánh thân chung động mạch vành trái nhằm giúp ích cho các nhà can thiệp trong quá trình thực hiện thủ thuật. Bằng phương pháp nghiên cứu mô tả cắt ngang, ...... hiện toàn bộ
#Bệnh động mạch vành #thân chung động mạch vành trái #chụp động mạch vành qua da #tổn thương vôi hóa
Tổng số: 9   
  • 1